概述：
线段树是算法竞赛中常用的数据结构（虽然考场中很少用，毕竟调起来麻烦，区间求和用树状树组还是更加方便代码也短）。
线段树可以在O(logN)的时间复杂度内实现单点修改、区间修改、区间查询（区间求和，求区间最大值，求区间最小值）等操作。简略的描述一下算法思路，线段树是一个二叉树，树的每一个节点存储的都是一个区间内的值（根据具体的题目而定），每个父结点的值由两个子结点的值决定。
但是普通的二分思想并不能体现线段树的精髓所在，线段树的精髓就在于它的懒标记，具体往下看。
算法的实现：
//建议初学者先看无懒标记版，在最下面。
这里以洛谷P3372的区间求和为例
个人习惯：
#define pl tr<<1 //左儿子
#define pr tr<<1|1 //右儿子建树（build）
struct segmentTree{
int l,r; //查询的区间范围
long long sum ,lz; //区间和，懒标记
}t[N<<2];//要开4*N的大小
void build(int l,int r,int tr){
t[tr].l=l;t[tr].r=r;
if(l==r) {t[tr].sum=a[l];return;} //如果区间内只有一个树，则赋值，返回
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,pl); //建左区间
build(mid+1,r,pr); //建右区间
pushup(tr); //关键操作，通过最下层来更新到上层
}上放（pushup）
void pushup(int tr){
t[tr].sum=t[pl].sum+t[pr].sum; //由两个子结点的值更新父结点的值
}下放（pushdown）
懒标记解释：带有懒标记的值是已经处理完成的确认的值。
void pushdown(int tr){
if(t[tr].lz){
t[pl].sum+=t[tr].lz*(t[pl].r-t[pl].l+1);//左儿子的值加上懒标记的值*区间内数的个数
t[pr].sum+=t[tr].lz*(t[pr].r-t[pr].l+1);//右儿子的值加上懒标记的值*区间内树的个数
t[pl].lz+=t[tr].lz;//懒标记下放
t[pr].lz+=t[tr].lz;//懒标记下放
t[tr].lz=0;//将父结点的懒标记清零
}
}更新（update）
update中的pushup()是我当时学习该算法时的没理解的一个地方，并不是直接更新每个结点的值，而是最后通过pushup()来更新父结点
void update(int l,int r,int tr,int num){
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r) {t[tr].sum+=num*(t[tr].r-t[tr].l+1);t[tr].lz+=num;return;}
pushdown(tr);//上一行是指如果该区间在查询区间内，则更新该区间值即懒标记，并且返回。（因为有懒标记），如果不包含则懒标记下放
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;//二分
if(l<=mid) update(l,r,pl,num); //如果左儿子一部分在查询区间内，更新左儿子
if(mid<r) update(l,r,pr,num); //如果右儿子一部分在查询区间内，更新右儿子
pushup(tr);//关键的一步
}查询（query）
long long query(int l,int r,int tr){
long long ans=0;
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r) return t[tr].sum;
pushdown(tr);
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
if(l<=mid) ans+=query(l,r,pl);
if(mid<r) ans+=query(l,r,pr);
return ans;
}例题与示例程序：
1.区间求和
洛谷P3372
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define pl tr<<1
#define pr tr<<1|1
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[100010],x,y,k,q;
struct segmentTree{
int l,r,lz;
long long sum;
}t[N<<2];
void pushup(int tr){
t[tr].sum=t[pl].sum+t[pr].sum;
}
void pushdown(int tr){
if(t[tr].lz){
t[pl].sum+=t[tr].lz*(t[pl].r-t[pl].l+1);
t[pr].sum+=t[tr].lz*(t[pr].r-t[pr].l+1);
t[pl].lz+=t[tr].lz;
t[pr].lz+=t[tr].lz;
t[tr].lz=0;
}
}
void build(int l,int r,int tr){
t[tr].l=l,t[tr].r=r;
if(l==r){t[tr].sum=a[r];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,pl);
build(mid+1,r,pr);
pushup(tr);
}
void update(int l,int r,int tr,int num){
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r) {t[tr].sum+=num*(t[tr].r-t[tr].l+1);t[tr].lz+=num;return;}
pushdown(tr);
int mid=(t[tr].r+t[tr].l)>>1;
if(l<=mid)update(l,r,pl,num);
if(mid<r)update(l,r,pr,num);
pushup(tr);
}
long long query(int l,int r,int tr){
long long ans=0;
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r) return t[tr].sum;
pushdown(tr);
int mid=(t[tr].r+t[tr].l)>>1;
if(l<=mid) ans+=query(l,r,pl);
if(mid<r) ans+=query(l,r,pr);
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&q,&x,&y);
if(q==1){
scanf("%d",&k);
update(x,y,1,k);
}
else{
printf("%lld\n",query(x,y,1));
}
}
return 0;
}2.区间求乘积
洛谷P3373
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define pl tr<<1
#define pr tr<<1|1
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,p,x,y,k,q;
int a[N];
struct segmentTree{
int l,r;
long long sum,add=0,mul=1;//add=加,mul=乘
}t[N<<2];
void pushup(int tr){
t[tr].sum=(t[pl].sum+t[pr].sum)%p;
}
void pushdown(int tr){
t[pl].sum=(t[tr].add*(t[pl].r-t[pl].l+1)%p+(t[pl].sum*t[tr].mul)%p)%p;
t[pr].sum=(t[tr].add*(t[pr].r-t[pr].l+1)%p+(t[pr].sum*t[tr].mul)%p)%p;
t[pl].add=(t[tr].mul*t[pl].add%p+t[tr].add)%p;
t[pl].mul=t[tr].mul*t[pl].mul%p;
t[pr].add=(t[tr].mul*t[pr].add%p+t[tr].add)%p;
t[pr].mul=t[tr].mul*t[pr].mul%p;
t[tr].add=0;t[tr].mul=1;
}
void build(int l,int r,int tr){
t[tr].l=l;t[tr].r=r;
if(l==r) {t[tr].sum=a[l];return;}
else{
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,pl);
build(mid+1,r,pr);
pushup(tr);
}
}
void update1(int l,int r,int tr,int k){//add
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r){
t[tr].sum=(t[tr].sum+k*(t[tr].r-t[tr].l+1)%p)%p;
t[tr].add=(t[tr].add+k%p)%p;
return;
}
pushdown(tr);
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
if(l<=mid) update1(l,r,pl,k);
if(mid<r) update1(l,r,pr,k);
pushup(tr);
}
void update2(int l,int r,int tr,int k){//mul
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r){
t[tr].sum=(t[tr].sum*k)%p;
t[tr].add=(t[tr].add*k)%p;
t[tr].mul=(t[tr].mul*k)%p;
return;
}
pushdown(tr);
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
if(l<=mid) update2(l,r,pl,k);
if(mid<r) update2(l,r,pr,k);
pushup(tr);
}
long long query(int l,int r,int tr){
long long ans=0;
if(l<=t[tr].l&&t[tr].r<=r) return t[tr].sum;
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
pushdown(tr);
if(l<=mid) ans+=query(l,r,pl);
if(mid<r) ans+=query(l,r,pr);
return ans%p;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&q,&x,&y);
if(q==1){
scanf("%d",&k);
update2(x,y,1,k);
}
else if(q==2){
scanf("%d",&k);
update1(x,y,1,k);
}
else {
printf("%lld\n",query(x,y,1));
}
}
return 0;
}无懒标记版本：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,q,x,y,k;
int a[N];
struct segmenttree{
int l,r,sum;
}t[N<<2];
void pushup(int tr){
t[tr].sum=t[tr<<1].sum+t[tr<<1|1].sum;
}
void build(int l,int r,int tr){
t[tr].l=l;t[tr].r=r;
if(l==r) {t[tr].sum=a[r];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,tr<<1);
build(mid+1,r,tr<<1|1);
pushup(tr);
}
void update(int l,int r,int tr,int num){
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
if(t[tr].l==t[tr].r) {
t[tr].sum+=num;return;
}
if(l<=mid)update(l,r,tr<<1,num);
if(mid<r)update(l,r,tr<<1|1,num);
pushup(tr);
}
int query(int l,int r,int tr){
int ans=0;
if(t[tr].l>=l&&t[tr].r<=r) {return t[tr].sum;}
int mid=(t[tr].l+t[tr].r)>>1;
if(l<=mid) ans+=query(l,r,tr<<1);
if(mid<r) ans+=query(l,r,tr<<1|1);
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
build(1,n,1);
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d",&q);
if(q==1){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
update(x,y,1,k);
}
else {
scanf("%d%d",&x,&y);
cout<<query(x,y,1)<<endl;
}
}
}